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      “普通高中数学课程标准(实验)”解读

       “普通高中数学课程标准(实验)”解读

       20049月开始进入《普通高中数学课程标准(实验)”》以下简称“课标”)及其教材实验至今已是第六个年头了,继广东、山东、海南、宁夏等四省首批进入实验区以后,至今全国已有19个省市进入实验区,其他省市也将陆续进入。在前五年的实验中,我们看到了新课程带来的变化,积累了一些经验,也暴露了一些问题。因此,在这次修订人教A版实验教材的培训包中,增加了“课标”解读这一内容,希望能帮助广大教师和数学教育工作者对新课程改革的必要性和新课程有一个初步的了解。

      一、引言

      (一)不断的变革是数学教育发展的必然

      教育的目的是发展人发展社会,数学教育的目的是利用数学的特点发展人发展社会。社会的发展、教育的发展、数学的发展必然导致数学教育的不断的变革。

      现代社会需要培养不同层次的人才。社会的发展,特别是高等教育多元化的发展、高中教育的规模化趋势和逐步的普及,将使高中毕业生不再只是各种高层次人才的预备队伍,他们还将成为各产业大军的主体,他们的未来将面临各种需求和自我发展的机遇。因此,高中阶段的教育应当为他们提供多元化的发展机会。

      社会的发展要求人们不断地提高理性思维能力,人们越来越清楚地认识到,良好的数学素养对于人们形成理性思维和人的发展具有重要的作用。

      数学是科学、是语言、是工具,是基础。数学在科技、社会、日常生活中的应用越来越广泛、深入。数学已从幕后走向台前,与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造财富,是许多高科技(如四大技术——材料、生命、环境、信息)的核心。又如在CT扫描技术、计算软件、数论在信息技术中的应用等。“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁”,无处没有数学的贡献。数学已经渗透到几乎各行各业、各个专业方向。

      此外,数学文化、数学的思想方法,也处处影响人们的生产和生活。数学的发生发展伴随着人类文明和社会的发展,反之,人类文明和社会的发展推动着数学的发展。

      教育的发展,尤其是教育心理的发展,对数学教学规律与学生学习方式等研究日趋深入,要求数学课程内容的编排、教材的编写有相应的变革。

      (二)我国的数学课程的长处与不足

      1.我国的数学课程的长处

      我国的数学课程有着自己的长处,如:课程内容比较系统,逻辑性强,重视数学理论和对学生的基本训练,因此学生对基础知识掌握得比较扎实,常规计算等基本技能比教熟练,这是数学课程实现其教育目标的基础,也是联系实际、培养能力必不可少的基础,在这方面的成绩已得到了国际的认可。我们的教师在课程的实施中敬业精神强,基于“大纲”的要求,与其他国家相比,教学中注意启发式,对于数学思想方法也较为关注,对“三大能力”的培养有我们自己的认识和做法,有一批优秀的教师,他们有较为全面的数学教育观、数学素养好、能按科学的教学规律进行课堂教学。此外,我们设有各级教研机构,指导、规范教师的教学和教学研究活动,从整体上保证了我国的数学教育有一个较为整齐的水平。但是,我国数学课程也存在着不足与问题

      2.我国数学课程的不足与问题

      我国数学课程的不足与问题主要表现在:

      (1)课程设置、课程目标、课程内容和评价方式都表现得较为单一

      随着社会、教育、数学的发展,现有的课程设置不能适应现代社会对不同层次人才的需要,也不利于人才的培养和成长,尤其是随着高中教育的不断扩大,这方面的社会问题会日益突现出来。  

      课程目标在关注基本知识和基本技能时往往忽视学生的感悟和思考过程,忽视对数学的理解,忽视数学的应用价值和文化价值的揭示,忽视对学生学习兴趣、自信心的激发和培育。

      课程内容缺乏与学生的生活经验、与社会实际的联系,缺乏数学各学科之间、数学与其他学科之间的联系,较少地体现数学的背景和应用。

      这些不足和问题,造成了学生对数学学习不感兴趣,或者越学越没兴趣,觉得数学就是做题,认为数学只在升学考试时有用…等等。也是造成我国学生只善于做常规题,与日常事务、日常生活联系的应用意识差,动手能力弱的重要原因所在。

      再有,就是评价的单一性,无论是评价主体、评价目标、还是评价方式,都较为单一。通常只是教师或学校对学生的评价,关注的往往只是结果,方式是以笔试为主。忽视了对学生发展的全面考察,包括学生在数学教学活动中表现出来的兴趣和态度的变化、学习数学的信心、独立思考的习惯、合作交流的意识、认知水平的发展,等等。总之,对评价的激励和发展功能重视不够,忽视了对学生发展的全面考察,这既不利于学生潜力的发挥,也不利于人才的培养。

      (2)忽视数学课程的教育价值

      数学课程改革是数学教育改革的核心,数学教育的目的主要是通过课程来实现的。总所周知,数学教育是教育的重要组成部分,他利用数学的特点,在发展和完善人的教育活动中,在形成人们认识世界的态度和思想方面、在推动社会进步和发展的进程中,起着别的学科不能替代的作用。同时,数学教育在学校教育中占有特殊的地位,他不仅使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想,而且使学生具有表达清晰、思考有条理等理性思维的方式,使学生具有求真求实的态度、锲而不舍的精神。但是,在以往的课程中,我们对数学课程的上述教育价值重视不够,往往关注的是知识和技能的学习和掌握,而对于通过以知识和技能为载体,对人的理性思维、理性精神的培育缺乏相应的认识和实践。

      (3)忽视对数学本质的认识和理解,存在过分形式化的倾向

      固然,我们有重视基础知识、基本技能的优良传统,而且,这也是培养学生的数学能力、发展应用意识、形成数学观念等方面的重要基础。但是,哪些知识是基础的,如何把握基础知识的教学?应该进行哪些基本技能的训练?如何训练等问题,在我们的课程中也还存在着需要探讨的问题。例如:

      函数的教学中,函数概念三要素确实是高中数学课程中对函数概念学习的一个重要方面,但是,以往课堂教学对函数定义域和值域的训练中人为设置的、过于形式化的、繁难训练的成分过多,而对函数本质的探索、认识、理解和应用确显得不够。

      几何课程中,关注更多的是形式化的演绎证明的步骤,而忽视了几何课程的教育功能。对于几何课程的教育功能,以往关注的往往只是几何课程对培养逻辑思维能力的作用,确实,几何课程是培养逻辑思维能力的良好载体。但是,随着研究的不断深入,我们要全面地看待几何课程的教育功能。具体地说,一是应注重合情推理与逻辑推理的有机结合。事实上,回顾我们自己对几何课程的学习和审视几何课程的内容,都可以感受到这两种推理在思考过程、证明过程和解决问题过程中的意义和作用,先猜后证往往是处理问题的一个常用策略,尤其是对于一些较难的问题。而“猜测”的过程或是出于直觉,或是通过归纳和类比,无论是直觉,还是归纳和类比,都是一种合情推理的过程。而以往我们对合情推理以及合情推理与逻辑推理的有机结合,以及他们在几何课程中的作用,乃至对学生这一学习能力培养的关注都较为欠缺。因此,“注重合情推理与逻辑推理的有机结合”对于培养学生思考和解决问题的能力不仅有现实意义,而且体现了一种自然的思考过程,是孕育理性思维的基础。二是要注重几何直观能力的培养,这一观念更是教学中的薄弱环节。几何直观能力对于数学学习具有十分重要的意义,合理地运用几何直观去学习数学,可以帮助思考,把抽象的对象变得直观形象,把难以理解的内容变得容易把握;有助于学生学会从数和形两个方面去想问题、去看问题,这是数学科学研究对象和特点的需要,更是认识和理解数学、学好数学的需要。

      此外,在统计课程中,更多的是计算统计量,而忽视了从样本(局部)估计总体(整体)的统计的基本思想方法,忽视了让学生经历收集数据、整理数据、分析数据、从数据中获取信息作出判断的过程,从而培养数据分析能力,等等。

      数学教育的发展,以及课程的不足和问题促使我们考虑新课程设计的基本出发点和指导思想,即课程的基本理念,也促使我们考虑相关的一些问题,如:

      数学课程应如何确定课程的目标,以适应社会发展对不同层次人才培养的要求?

      需要如何确定课程内容,既能保证基础性又能适应社会发展对不同层次人才培养的要求?

      需要如何改进和丰富数学课堂教学方式,积极探索适合高中学生数学学习的教学方式,不断提高教学水平,使学生受到良好的数学教育?

      需要如何改进和丰富学生的学习方式,以利于学生的终身学习和终身发展?

      关于新课程设计的的基本出发点和指导思想,“课标”列出了十条基本理念。并在“课标”解读中指出:面向21世纪的我国数学教育, 应当具有时代的特征。 因此, 制定新的高中数学课程, 必须“与时俱进”地审视国内外数学科学以及数学教育的历史、现状、发展趋势,体现课程的时代性、基础性、选择性,对高中数学课程给以明确的定位,还必须前瞻性地规划未来高中数学课程的发展图景。同时对十条基本理念作了较为详细的解读,这里不再重复。但是,我们在下面会结合对课程目标、内容、一些内容的剖析,以及实验情况的调查等,具体阐述这些基本理念的体现。

      下面我们首先介绍新课程的目标,其次介绍新课程的内容,以及“课标”与《全日制普通高级中学数学教学大纲》(以下简称“大纲”)相比较的变化——包括框架结构的变化和内容的变化,为什么有这些变化?最后是实验情况调查与笔者的若干思考。

       

      二、课标确定的高中数学课程目标及其宗旨

      (一)高中数学课程目标

      根据高中阶段的教育价值和数学课程的基础性,以及社会、数学与教育的发展对人才培养的要求,对数学教育的要求,高中数学课程的总目标是:使学生在九年义务教育数学课程的基础上,进一步提高作为未来公民所必要的数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下:

        1获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、数学结论的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动,体验数学发现和创造的历程。

      2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。

      3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力,数学表达和交流的能力,发展独立获取数学知识的能力。

      4发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。

      5.提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

      6.具有一定的数学视野,逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值,形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学的美学意义,从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。

      (二)课程目标有新的发展和进步

      我们知道,学校教育是一种有目的、有意识的教育活动,他反映了社会对未来人材培养在知识、技能、能力、意识、态度、价值观、情感等方面的要求。因此,“课标”在确定数学课程总目标下,六条具体目标体现了知识与技能;过程与方法,在过程中形成能力和意识;情感、态度、价值观等方面内容。

      “课标”确定的高中数学课程目标与国内外的数学课程目标相比,有新的发展和进步。以往的课程目标或者主要体现的是实用的目的,如:就业、升学;或者主要体现的是数学学科的要求。而“课标”提出的这个目标不仅有对个人在九年义务教育数学课程的基础上,进一步提高数学素养的要求,而且把个人的发展与社会发展的需要联系在一起,这就从教育的本质上明确了数学教育的目标,揭示了数学教育的本质。

      (三)总目标与具体目标的关系

      “课标”确定的数学课程总目标明确了数学教育前进的方向,即:“进一步提高作为未来公民所必要的数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要”。因此,“课标”对课程内容的选择、要求、处理上,都有了较大的变化,增加了算法、推理与证明、框图、统计案例等新的内容,对原有内容作了若干删减;设立“数学探究”“数学建模”等学习活动,为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件,以激发学生的数学学习兴趣,鼓励学生在学习过程中,养成独立思考、积极探索的习惯。强调数学课程的数学价值和教育价值,突出学生的发展和社会需要;强调数学本质、整体性和联系;强调改进和丰富教与学的方式,等等。

      六条具体目标基本上可以分为三个层次:第一个层次是知识与技能,这是掌握方法、发展能力和意识,是形成积极的情感态度、全面的价值观最基本最重要的基础;第二个层次是过程与方法,在过程中掌握方法、形成能力,在过程中发展意识,比如应用意识、创新意识;第三个层次是情感态度价值观,这是对于人的全面和谐发展和社会发展的更高层次的要求。

      总目标与具体目标之间又是不可分割、互相联系、互相融合的,是一个整体,体现了过程与结果的有机结合。因为方法的把握、能力的形成必须有知识作为载体,以技能作为基础,而知识的学习和技能的形成又依赖于方法的把握和具备的各种能力;在发展能力的过程中,逐渐形成意识,在参与数学活动的过程中,提高学习兴趣,提高学习数学的信心,形成积极的学习态度,认识数学的价值和数学的教育价值,崇尚理性精神,培养良好的个性品质,进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义的世界观。对于知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三者的有机结合,是“课标”的基本理念,其中,明确提出对“情感态度价值观”方面的要求,以及三者的有机结合是一个发展,是对数学学习和数学教育本质深入研究的体现。

      在教育的进程中,我们总是从学习具体的知识、训练具体的技能开始,在数学教学活动中,逐步形成能力、发展意识,进一步发展为个体的思想、精神、观念,这是个体成长发展的一个自然的过程。“课标”提出的这六个具体目标正是体现了个体成长发展的这个自然过程。因此,这六条具体目标既有层次,又是不可分割的、互相联系、互相融合的一个整体,他保证了在数学教育进程中,数学课程总目标的实现。

      三、“课标”与“大纲”相比较课程设置有哪些变化

      与“大纲”相比较,新课程在框架结构、内容等方面都有较大的变化。

      (一)框架结构的变化

      “课标”基本理念的一个大的变化是模块+专题结构和学分制。

      与以往的高中数学课程相比,这次课程标准更加突出了基础性和选择性,这是“课标”的基本理念之一。根据《普通高中课程方案(实验)》关于课程结构和课程设置的要求,普通高中课程由学习领域、科目、模块三个层次构成。普通高中课程一共设置了八个学习领域,数学自身构成一个单独的学习领域。在数学课程这个领域中,不再划分科目,直接由模块构成。这些模块又划分成必修和选修两部分。其中,必修课程由5个模块构成,选修课程分成4个系列,其中系列1、系列2由若干个模块组成,系列3、系列4由若干专题组成;每个模块2学分(36学时),每个专题1学分(18学时),如下图。

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      必修

      模块

       

       

       

       


       

      必修课程和选修课程的各个系列全都划分成模块或专题,是为了方便学生选择课程内容、制订学习计划。每个学生在学期开始时,可以根据自己的学习基础和发展方向,选择不同模块的内容,制订各自不同的学习计划,还可以在学习一个阶段之后,根据自己的学习情况,调整、变更学习计划。这样就为不同学生的发展打好不同的基础,提供了充分的选择性。

      学生完成10个学分的必修课程,便在数学上达到高中毕业的要求。希望在人文、社科等方面发展的学生可以有两种选择(16学分或20学分)。希望在理工(包括部分经济类)等方面发展的学生也可以有两种选择(20学分或24学分)。课程组合有一定的灵活性,不同的组合可以相互转换。

      (二)内容的变化

      新课程的内容有较大的变化,不仅增加了一些为了适应社会发展、数学发展和教育发展需要的新内容,而且对某些原有内容也作了一定的调整。

      1.内容及其确定的原则

      1)必修课程的内容及其确定原则

      必修课程内容确定的原则是满足未来公民的基本数学需求,为学生进一步的学习提供必要的数学准备。包括五个模块的内容:

      数学1:集合、函数概念与基本初等函数I(指数函数、 

                     对数函数、幂函数);

      数学2:立体几何初步、平面解析几何初步;

      数学3:算法初步、统计、概率;

      数学4:基本初等函数II(三角函数)、平面上的向量、

                      三角恒等变换;

      数学5:解三角形、数列、不等式。

      必修课程的上述内容是每一个高中学生都要学习的。除了算法是新增加的,向量、统计和概率是近些年来不断加强的内容之外,其他内容基本上都是以往高中数学课程的传统基础内容,覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求,有些内容在目标、重点、处理方式上发生了变化。必修课程的这些内容对于所有的高中学生来说,无论是毕业后直接进入社会,还是进一步学习有关的职业技术,或是继续升大学深造,都是不可缺少的必要的基础。

      必修课程的呈现力求展现由具体到抽象的过程,体现数学知识中蕴涵的基本思想方法和内在联系,体现数学知识的发生、发展过程和实际应用。在教学中特别应处理好过程与结果、直观与抽象、演绎推理与合情推理、生活化情境化与数学化等几个基本关系。

      模块的逻辑顺序:必修课程是选修课程中系列1、系列2课程的基础。选修课程中系列3、系列4基本上不依赖其他系列的课程,可以与其他系列课程同时开设,这些专题的开设可以不考虑先后顺序。必修课程中,数学1是数学2,数学3,数学4和数学5的基础,数学2、数学3、数学4和数学5的顺序各实验区可以根据情况进行安排。

      2)选修课程的内容及其确定原则

      在完成必修课程的基础上,希望进一步学习数学的学生,可以根据自己的需求,选择学习选修系列1、系列2

      其中系列1是为希望在人文社科方面发展的学生设置的,由2个模块组成:

      选修1-1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用;

      选修1-2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。

      系列2是为希望在理工(包括部分经济类)方面发展的学生设置的,由3个模块组成:

      选修2-1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何;

      选修2-2:导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入;

      选修2-3:计数原理、统计案例、概率。

      从整体上看,选修系列12中的内容覆盖了除前面必修课程内容外的其他高中阶段传统的数学基础知识,包括常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用、数系的扩充与复数的引入、空间向量、立体几何、计数原理、二项式定理等。此外,增加了推理与证明、框图、统计案例等内容,加强了概率的内容。

      对于选修系列12中的内容,有一些内容和要求是相同的,例如,常用逻辑用语、统计案例、数系扩充与复数等,而其他内容在课时和要求都会有所区别的。有一些内容基本相同,但要求不同,如导数及其应用,在系列1中,该内容安排了16个课时,而在系列2中,该内容则安排了24个课时,增加了定积分概念和微积分基本定理;此外,在导数计算中,增加了对线性复合函数的求导要求,如求形如等线性复合函数的导数。

      关于圆锥曲线与方程的内容,在系列1中,该内容安排了12个课时,而在系列2中,该内容则安排了16个课时,主要区别在于对抛物线的要求不同,系列1是了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质。而系列2是要求经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,掌握它的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

      推理与证明的内容在课时上,系列1中安排了10个课时,而在系列2中则安排了8个课时;系列2在内容上多了数学归纳法,而系列1则希望在相同的内容中多一些实例的分析。

      还有一些内容是不同的,如在系列1中安排了框图的内容,系列2安排了空间中的向量与立体几何、计数原理、离散型随机变量及其分布等内容。

      与必修课程一样,要求在学习知识、在保证打好基础的同时,学到更多的数学思想和方法,学到数学思考的一般方式。希望当我们的学生继续深造时,当我们的学生步入社会忘却数学知识时,还能给他们在思维方式上,在处事的态度和方式上,在精神上,在意志品质上,留下更多的东西。一句话——为学生的终身学习和终身发展打下良好的基础。

      选修系列34是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生设置的。系列3由6个专题组成:

      选修3-1:数学史选讲;

      选修3-2:信息安全与密码;

      选修3-3:球面上的几何;

      选修3-4:对称与群;

      选修3-5:欧拉公式与闭曲面分类;

      选修3-6:三等分角与数域扩充。

      系列4:由10个专题组成:

      选修4-1:几何证明选讲;

      选修4-2:矩阵与变换;

      选修4-3:数列与差分;

      选修4-4:坐标系与参数方程;

      选修4-5:不等式选讲;

      选修4-6:初等数论初步;

      选修4-7:优选法与试验设计初步;

      选修4-8:统筹法与图论初步;

      选修4-9:风险与决策;

      选修4-10:开关电路与布尔代数。

      选修系列3和系列4中专题的学习重在提高数学素养,拓宽视野。大致分为三类:

      一类是在学生已学数学内容基础上进一步加深对已学知识和相关知识的了解和认识,是在学生已学数学内容基础上的延伸和拓广。例如数学史选讲、几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、初等数论初步等。

      一类是对近现代数学中一些重要数学思想方法的介绍,但不是把大学有关内容的简化下放。例如对称与群、矩阵与变换、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充等。

      还有一类是反映数学与现实世界紧密联系与广泛应用的内容,通过这些专题的学习,可以加深学生对数学的力量、数学应用价值的认识。例如信息安全与密码、优选法与实验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数等。

      希望通过专题的学习有利于扩展学生的数学视野,有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识,有利于学生的终身学习和终身发展。

      其中的专题将随着课程的发展逐步予以扩充,学生可根据自己的兴趣、志向进行选择。根据系列3内容的特点,系列3不作为高校选拔考试的内容,对这部分内容学习的评价适宜采用定量与定性相结合的方式,由学校进行评价,评价结果可作为高校录取的参考。

      学校应在保证必修课程,选修系列1、系列2开设的基础上,根据自身的情况,开设系列3和系列4中的某些专题,以满足学生的基本选择需求。学校可根据自身的情况逐步丰富和完善,并积极开发、利用校外课程资源(包括远程教育资源)。对于课程的开设,教师也需要根据自身条件制定个人发展计划。

      (3)设置了数学探究、数学建模、数学文化内容

      新课程的又一变化是要求把数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中,并在高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、一次数学建模活动。高中数学课程还要求把数学文化内容与各模块的内容有机结合。

      数学探究即数学探究性课题学习,是指学生围绕某个数学问题,自主探究、学习的过程。这个过程包括:观察分析数学事实,提出有意义的数学问题,猜测、探求适当的数学结论或规律,给出解释或证明。

      数学探究这一学习方式有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程,初步理解直观和严谨的关系,初步尝试数学研究的过程,体验创造的激情,建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神;有助于培养学生发现、提出、解决数学问题的能力和创新意识。

      数学探究课题的选择是完成探究学习的关键。课题的选择要有助于学生对数学的理解,有助于学生体验数学研究的过程,有助于学生形成发现、探究问题的意识,有助于鼓励学生发挥自己的想像力和创造性。课题要有一定的开放性,但课题的预备知识最好不超出学生现有的知识范围。

      数学探究课题可以从教材提供的案例和背景材料中选择,也可以从教师提供的案例和背景材料中选择,还可鼓励学生在学习数学知识、技能、方法、思想的过程中发现和提出自己的问题并加以研究。

          高中阶段至少应为学生安排1次数学探究活动,学校和教师可根据各自的实际情况,统筹安排数学探究活动的内容和时间。例如,可以结合方程的近似求解、导数的应用等内容安排数学探究活动。

      数学建模是运用数学思想、方法和知识寻求建立数学模型解决实际问题的过程,已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。数学建模可以看成是问题解决的一部分,它的作用对象更侧重于非数学领域,但需用数学工具来解决的问题。如来自日常生活、经济、工程、理、化、生、医等学科中的应用数学问题。

      数学建模可以通过以下框图体现:

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       


      数学建模是数学学习的一种方式,它为学生提供了自主学习的空间,有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,增强应用意识;有助于激发学生学习数学的兴趣,发展学生的创新意识和实践能力。

      “课标”没有对数学建模的课时和内容做具体安排,学校和教师可根据各自的实际情况,统筹安排数学建模活动的内容和时间。例如,可以结合统计、线性规划、数列等内容安排数学建模活动。可以针对学生的不同发展水平,分层次开展多样的数学应用与建模活动。形式可以是多种多样的,常见的主要有以下三种:

          (1)  结合正常的课堂教学,在部分环节上“切入”应用和建模的内容,

          (2)  以数学应用和数学建模为主题的课外的活动,

          (3)  数学建模选修课程。

      数学文化具有十分丰富的内涵。一般来说,数学文化表现为在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方面。它既包括对于人的观念、思想和思维方式的一种潜移默化的作用,人的思维的训练功能和发展人的创造性思维的功能,也包括在人类认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取的精神和所能达到的崇高境界等等。

      认识数学文化的价值是理解数学文化的重要方面。这种价值体现在数学对于人的观念、精神以及思维方式具有十分重要的影响,特别是数学的理性精神。事实上,在我们以往的教材和数学教学中一直在体现客观地存在于数学中的无形的数学文化,数学文化与数学同在,只要有数学,就一定有数学文化。

      “课标”教材通过阅读与思考、探究与发现等拦目,体现“课标”对数学探究、数学建模、数学文化的要求。如在模块1中的“函数概念的发展历程”“互为反函数的两个函数图象之间的关系”“对数的发明”“中外历史上的方程求解”;模块2中的“祖 原理与柱体、锥体、球体的体积”“笛卡尔与解析几何”“欧几里得《原本》与公理化方法”等。

      2.与“大纲”相比较,对高中数学内容的整体回顾和比较

      以下我们首先从内容的安排上对高中数学内容作一回顾和比较,以便使大家从整体上对新课程的变化有一个大致的了解。

       

      1)代数

       “大纲”课程              “课标”课程

       

      集合                     必修1

      常用逻辑用语(简易逻辑)            选修1-1,2-1

      函数                     必修1

      指数函数,对数函数,幂函数            必修1

      三角函数,三角恒等变换,            必修4

      解三角形,数列,不等式            必修5

      复数                     选修1-2,2-2

      (2)几 何

         “大纲”课程              “课标”课程

       

      立体几何初步                 必修2

      空间向量与立体几何               选修2-1     

      平面解析几何初步               必修2

      圆锥曲线与方程                选修1-1,选修2-1

      平面向量                   必修4

       

      3)概   

          “大纲”课程              “课标”课程

       

      统计   概率                                                必修3

      统计案例                                                   选修1-2,选修2-3

      概率                                                         选修2-3                

      计数原理                                                   选修2-3

       

      4)微积分

      “大纲”课程                “课标”课程

       

          极限(只限理科学生)                             选修1-1,选修2-2

          导数

       

        5)新增内容

      算法                                                     必修3

      推理与证明                                            选修1-2,选修2-2

      框图                                                     选修1-2

      统计案例                                               选修1-2,选修2-3

      函数与方程                                            必修1

      函数模型及其应用                                   必修1

       

      3.代数有关内容的要求、变化及其原由

      1)函数内容的要求、变化及其原由

      对函数内容的要求与变化旨在加强对函数本质的理解。

      ——关于函数内容的整体定位和基本要求:

      u  把函数作为刻画现实世界中一类重要变化规律的模型来学习,是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型;

      u  强调对函数本质的认识和理解,因此要求在高中数学学习中多次接触、螺旋上升;

      u关注背景、应用、增加了函数模型及其应用。

      u削弱和淡化了一些内容,如函数的定义域、值域,反函数、复合函数等。

      u  注重思想和联系——增加了函数与方程、用二分法求方程的近似根。

      希望通过方程根与函数零点的内在联系,加强对函数概念、函数思想及函数这一主线在高中数学中的地位作用的认识和理解。并通过用二分法求方程近似根将函数思想以及方程的根与函数零点之间的联系具体化。

      二分法是求方程近似根的常用方法,更为一般、简单,能很好地体现函数思想,“大纲”只是用三个二解决根的分布问题。

      u  合理地使用信息技术,旨在帮助学生更好地认识和理解函数及其性质。应注意的是,现代信息技术不能替代艰苦的学习和人脑精密的思考,信息技术只是作为达到目的的一种手段,一种快速计算的工具。

      ——对函数三要素要求的变化                                                             

      强调的是了解函数的构成要素和函数概念的整体性。对于定义域和值域,只要求会求一些简单函数的定义域和值域,减弱了求定义域、值域的要求,尤其是要避免人为地编制一些求定义域和值域的难题、偏题,进行过于繁琐的技巧训练。这是与原有内容很不同的地方。

      ——关于反函数的变化

      弱化了反函数的概念,只以具体函数为例进行解释和直观理解,通过比较同底的指数函数和对数函数,说明指数函数 yax (a0a1)和对数函数 ylogax (a0,a1)互为反函数。不一般地讨论形式化的反函数定义,也不要求求已知函数的反函数。互为反函数的两个函数的图象间关于直线 y=x 对称的性质,只通过具体函数讨论。

      为什么有上述要求的变化?首先是从数学上考虑,其次是针对现实教学中的情况。希望帮助学生更好地从整体上认识和理解函数的本质,而真正理解函数概念是不容易的。因此,不要在过于细枝末节的非本质问题上作过多的训练,有了定义域和对应关系,值域自然就定了。那些人为地编制的一些求定义域和值域的难题、偏题,进行过于繁琐的技巧等训练,对于后继课程的学习不仅没什么用,更没有理论意义,过于形式化的训练也不能帮助学生更好地认识函数本质。此外,“课标”建议先讲函数再讲映射,也是为了帮助学生把注意力集中在函数本身,更好地理解函数,希望能对教和学起到良好的导向作用。

      2)指、对、幂函数的要求、变化及其原由

      u  对于指、对、幂数函数的学习,一方面是作为对函数概念学习的具体化,把他们作为具体的函数模型来学习;另一方面他们是基本初等函数,出于基础性的考虑,与“大纲”相比又加上了幂函数。

      u  突出背景和应用,把指、对、幂函数作为三种不同的函数增长模型。安排了幂增长、指数增长、对数增长的比较” 。这是因为在现代生活中,经常碰到函数增长指数爆炸等概念,因此“课标”要求结合实例体会指数函数、对数函数以及幂函数增长差异,认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

      u    无理指数幂。但是只要求通过实例了解无理指数幂,体会逼近思想。

           3)三角函数的要求、变化及其原由

      u    作为对函数概念学习的具体化,把他们作为具体的函数模型来学习。

      u    突出三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质,增加了“三角函数模型的简单应用”,提高了对解三角形应用的要求。

      u    以“实际问题——定义、诱导公式——图象与性质——实际应用”为内容线索展开,加强整体性和联系。

      u    重视数形结合思想的学习,如借助于单位圆理解三角函数的定义、借助于单位圆中的三角函数线推导诱导公式、同角三角函数的关系等。

      u    类少了,公式少了,更强调基楚性和数学的简约性,如删去了余切、正割、余割的定义,公式只保留了11个,重在培养学生的推理和运算能力。

      u    删去了大纲中“已知三角函数值求角”、“反三角函数”等内容;降低了“给角求值”、“三角恒等式证明”、公式推导等要求。

      变化的原由在于“削枝强干”,体现新课程注重基础,强调整体性和联系的基本理念,体现数学的求简精神。加强新课程的思想性,不只是教知识、训练技能技巧,还要渗透思想方法,帮助学生学会数学思考,培养能力,培育意识。

          (4)数列的要求、变化及其原由

      u      将数列、等差数列和等比数列都作为一种特殊的函数、作为反映自然规律的基本数学模型来学习,加强了与函数的联系,更注重背景和应用。

      u      要求学生通过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数  列这两种数列模型,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们初步解决一些实际问题。

      u      对于数列的概念、通项公式的要求比“大纲”低了。前者只是了解,后者与列表和图象是同等地位,没有单独提出来。

      u      在对等差、等比数列的知识要求上与“大纲”大致相同,只是“课标”更关注学生的参与和发现、背景和应用,以及与函数的联系。

      由上要求与变化可知,以往比较注重数列中各量之间关系的恒等变形。而“课标”对数列内容的处理突出了函数思想、数学模型思想以及离散与连续的关系。数列是一种离散函数,它是一种重要数学模型。日常生活中遇到的许多问题,如贷款、利率、折扣,人口的增长,放射性物质的衰变等都可以用等差数列和等比数列来刻画。等差数列、等比数列又是一次函数、指数函数的离散化。总之,希望能从函数的观点、模型的观点、连续与离散的关系等角度认识数列,突出数列的本质。

       

      (5)不等式的要求、变化及其原由

      u      在知识上删去了解绝对值不等式和解分式不等式的要求;删去了不等式的证明;只要求会解一元二次不等式,不要求会解多元不等式。不要求用基本不等式作推理证明。

      u      提高了对不等式背景和应用的要求,例如:强调基本不等式在解决简单的最大(小)问题中的作用。

      u      关注不等式的几何意义。

      由上要求和变化可知,对于不等式的内容,以往的课程比较关注不等式作为研究函数的一个工具,关注不等式的解法。而新课程更多的是关注不等式是刻画和描述现实世界中事物在量上的区别的一种工具,是描述刻画优化问题的一种数学模型;淡化了解不等式的技巧性要求,突出了不等式的实际背景及其应用,例如,将线性规划问题作为不等式的应用来处理;突出了不等式的几何意义及在解决优化问题中的作用。希望能为学生理解不等式的本质,体会优化思想奠定一定的基础。

      4.几何课程内容的要求、变化及其原由

      (1)关于几何课程的整体定位和基本要求

      “课标”指出:三维空间是人类生存的现实空间,认识空间图形,培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力,是高中阶段数学必修系列几何课程的基本要求。在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形;再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。在必修课程的立体几何中,主要是通过直观感知、操作确认,获得几何图形的性质,并通过简单的推理发现、论证一些几何性质。对于进一步的论证与度量则放在选修系列2中用向量处理。

      解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质,体现了数形结合的重要数学思想。在平面解析几何初步中,学生将学习在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系,并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想,初步形成用代数方法解决几何问题的能力。圆锥曲线与方程的内容则放在选修系列12中。

      为了更好地体现“课标”的目标和要求,几何课程设置有较大的变化:

       首先,“课标”对几何课程的内容是分三个层次设计的,即必修课程中的几何,选修系列12中的几何,选修系列34中的几何。必修课程中的几何包括立体几何初步、解析几何初步、平面向量、解三角形等。选修系列12中的几何包括圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修系列34中的几何主要包括球面上的几何、坐标系与参数方程、几何证明选讲等专题。

      其次,与“大纲”课程中的立体几何内容相比,“课标”中立体几何内容的变化还表现在内容的定位、处理方式等方面的变化。

      2)立体几何的定位、内容处理的变化及其原由

      “课标”中的立体几何定位于全面看待立体几何的教育价值:培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力及几何直观能力;培养和发展学生的推理能力,包括逻辑推理能力和合情推理能力等。 

      在处理方式上,与以往从局部到整体展开几何内容的方式不同,“课标”是按照从整体到局部的方式展开几何内容的,并突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程,当然,在具体教学中,整体与局部、宏观与微观应该是有机联系的,并且应注重三种语言的使用和转换训练。

      内容的分层设计不仅体现在上面所说的分必修;选修1、选修2;选修3、选修4三个层次。在必修课程中,也是分层次设计的:考虑到形状是空间几何体的结构特征,因此“课标”建议首先借助于丰富的实物模型、图片,或运用计算机软件所呈现的空间几何体,通过对这些空间几何体的整体观察、思考等活动,概括出柱、锥、台、球的结构特征,结合画三视图和直观图作进一步认识,运用这些特征描述现实生活中的一些简单物体的结构。在上述基础上,以长方体为载体,直观认识和体会空间的点、线、面之间的位置关系,抽象出空间线、面的位置关系(平行与垂直)的定义,并了解一些可以作为推理依据的公理和定理 。再以空间几何中的定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认,归纳出一些判定定理与性质定理,并对性质定理加以逻辑证明,能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。至于判定定理,在选修系列2-1中,用向量的方法加以严格的证明。概括地说,内容处理上的变化主要体现在:

      u      从整体到局部的设计,希望能更贴近学生的认知规律,这是一个大的变化。

      u      合情推理与逻辑推理的有机结合,希望避免以往几何课程中以论证几何为主线展开几何内容造成的过于形式化,以及由此给学生带来的困难,使学生在较为自然的探索过程中学习数学的思考方式。

      u      强调自然语言、图形语言、符号语言等三种语言的协同训练。

      u      体现直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的几何学习过程。

      u      增加了三视图、空间坐标系。

      变化的目的,一是希望能增进学生对几何本质的理解,培养学生对几何学习的兴趣;二是希望更贴近学生的认知规律,克服以往以论证几何为主线、从局部到整体展开几何内容造成的过于形式化,以及由此给学生认知带来的困难,使学生在较为自然的探索过程中学习几何。此外,对于解决几何学习容易造成学生两极分化的问题也是有帮助的。三是对现实立体几何教与学中问题的思考,希望降低立体几何入门的门槛,把学习的难点分散。

      3)平面解析几何的变化及其原由

      相对来说,这一部分的内容变化要小一些。主要是更加强调了解析几何方法的灵魂及其体现。目的是帮助学生更好地领悟解析法,习惯于从数和形两个角度去思考问题、处理问题,这也是学习数学的基本方法。

      u          强调数形结合是解析法的灵魂。数形转换、数形结合这一重要的思想。具体体现在:

      在直线与方程、圆与方程的内容中,首先探索确定直线和圆的几何要素,用坐标表示他们,再根据确定直线和圆的几何要素探索建立直线和圆的方程的几种形式。

      u          强调几何背景和学生发展的需要。例如,与“大纲”课程相比,“课标”更关注圆锥曲线的来龙去脉,关注其几何背景。并改变了原来缺乏层次、要求单一的设计,对于不同的学生设计了不同的层次,如对希望在人文、社会科学等方面发展的学生,更强调对椭圆这一特殊的圆锥曲线有一个比较全面的了解,而其他的圆锥曲线只作一般性了解。这样做在很大的程度上,是关注学生自身的发展与需要。

       

      5.概率统计的要求、变化及其原由

      1)概率统计的整体定位和要求

      现代社会是信息化的社会,人们常常需要收集数据,根据所获得的数据提取有价值的信息,作出合理的决策。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以为人们制定决策提供依据。随机现象在日常生活中随处可见,概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法,同时为统计学的发展提供了理论基础。因此,统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。

      “课标”要求学生在义务教育阶段学习统计与概率的基础上,通过实际问题情境,学习随机抽样、样本估计总体、线性回归、独立性检验等基本方法,体会用样本估计总体及其特征的思想。通过解决实际问题,较为系统地经历数据收集与处理的全过程,体会统计思维与确定性思维的差异。

      结合具体实例,学习概率的某些基本性质、简单的概率模型、随机变量及其分布等知识,加深对随机现象的理解,能通过实验、计算器(机)模拟估计简单随机事件发生的概率。

      在选修2-1和选修2-3中增加了统计案例,通过对典型案例的讨论,了解和使用一些常用的统计方法,进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识统计方法在决策中的作用。

      在选修2-3中还将学习计数原理、随机变量及其分布等。

      (2)与“大纲”的整体比较

      内容上:加强了统计(抽样理论,估计理论)、 概率定义,古典概型;增加了几何概型、统计案例(回归分析,假设检验),随机变量及其分布等。其目的是为了加强对统计思想的认识和理解;培育参与意识以及培养运用统计思想解决实际问题的能力。

      结构上: 文、理科中的统计由选修变为必修,这“课标”课程的模块结构引起的变化。由先概率后统计变为先统计后概率,这是希望能更好地体现自然的认识过程——概率是研究随机现象规律性的科学,而人们在对随机现象认识的过程中,首先要进行一些统计工作,经过大量的统计数据,才能从中发现随机现象的规律性。由先计数原理后概率变为先概率后计数原理,目的是希望加强对概率本身的认识,更好地认识概率的思想和本质。

      教学上: 由图表、数据的计算转变为强调概率、统计的思想,参与和运用概率、统计思想解决实际问题的能力。

      (3)为何在统计教学中要强调案例教学

      新课程对统计内容的学习强调通过具体实例和案例的学习。首先是因为统计的研究对象使得统计与其他数学内容有很大的差别:其他数学内容更强调演绎推理,而统计问题往往是根据具体事物归纳出来的,所以更强调归纳的过程。其次是因为中学生的基础和认识水平,决定了学习统计不应该是从定义定理出发,而应该是从具体的实例出发,这样做有助于学生了解解决统计问题的全过程:提出统计问题,收集数据,整理、分析数据,提取信息,得出推断,做出预测与决策;有助于学生了解统计基本概念(如总体和样本);有助于学生掌握用统计解决问题的基本方法,并在解决问题的过程中进一步加深理解统计的基本思想。

      好的统计案例,应从下面几个方面考虑:一是问题来自学生的生活实际或是现实问题;二是问题能体现出统计思想;三是能引起学生的兴趣并适合学生的认知水平;四是便于使用信息技术。

       

      (4)概率的变化及其原由

      在自然科学和社会科学以及市场经济中,人们遇到了越来越多的随机现象。对随机现象的正确认识是每一个公民应有的文化素质。这也正是“课标”设置概率课程的基本目的。

      概率课程的一个大的变化是先学概率后学计数原理。过去中学的概率学习是先学计数原理后学概率,用排列组合计算古典概率会带来一些方便,但是,排列组合的题目可以很难,学习的重点自然就会变成了如何计数,而不是如何认识和理解随机现象。造成的结果是学生学完后计数原理忘了,不会算了,就留不下东西,不能很好地认识周围发生的随机现象,如天气预报,彩票中奖等。“课标”更强调对随机现象的认识,强调对概率本质的认识,因此,在学习计数原理后再学概率,希望能帮助学生更好地认识随机现象,认识概率的本质。有利于学生的终身发展,这是“课标”基本理念的具体体现。

      6.微积分内容的要求、变化及其原由

      在高中数学新课程中,“导数及其应用”这部分内容的要求和处理有了较大的变化,这是基于“课标”突出数学本质、为学生的终身发展、更好地适应社会发展和对人才需求的基本理念。

      “导数及其应用”分别安排在选修系列1-1和选修系列2-2中学习。其中,对导数概念的认识、导数在研究函数性质中的应用,以及生活中的优化问题举例等内容,选修系列1-1和选修系列2-2的学习和教学要求基本上是一样的。稍有区别的是在选修系列2-2中,增加了定积分与微积分基本定理的内容;此外,对运算的要求略有提高。选修系列2-2比选修系列1-1增加的有:(1)关于导数的运算,常见函数的导数增加了求两个函数的导数;增加了求简单复合函数导数(仅限于形如)。(2)增加了定积分概念和微积分基本定理。因为考虑到理科对数学的实际要求多一些、也高一些。

      “课标”对这部分内容的调整进行了反复的研究与思考:为何在我国中学数学中微积分会出现几进几出的安排?如何使学生感受学习导数的必要性,帮助学生了解导数在研究函数性质和生活中涉及的导数的初步应用?如何使学生较好地认识导数的本质,不仅将导数作为一种规则,更作为一种重要的思想、方法来学习?如何更有效地学习导数的相关内容?如何渗透算法思想、以及与现代信息技术的整合?等等。下面我们对上述问题作简要分析。

       1)我国中学数学课程中微积分几进几出的主要原因

      “课标”研制前期首先分析了微积分在我国中学数学课程中几进几出的原因,除了高考影响外,主要原因是定位不当:

      u      把中学微积分内容作为大学微积分内容的一种缩编,简单下放。学习的是压缩简编的微积分,是按照微积分学科体系的基本线索:极限理论连续理论导数与微分积分理论微积分基本定理展开的。

      u      先讲极限概念,把导数作为一种特殊极限来讲,于是,形式化的极限概念就成了学生学习的障碍。一是学习形式化极限本身带来的困难,二是把导数作为一种特殊的极限来学习,对导数概念缺乏感受和认识。

      u      无论是导数概念,还是导数的应用,更多的是作为一种规则来教和学,会用公式和法则进行计算,一旦公式和法则忘记了,就留不下什么东西了。严重影响了对导数概念本身的认识和理解。造成的结果是:大学不受欢迎,存在着炒夹生饭现象,中学也感受不到学导数的好处,反而加重了学生的负担。

      2)“课标”对“导数及其应用”内容的基本定位

      u      强调对数学本质的认识,对导数本质的认识,不仅作为一种规则,更作为一种重要的思想、方法来学习。

      u      全面体现数学的价值,包括应用价值:了解导数是研究事物变化快慢、研究函数单调性、极大(小)值、最大(小)值和解决生活中优化问题的有力工具——导数的广泛应用性;体会微积分的科学价值和文化价值:人类文明与科技、社会的发展对微积分创立的促进作用,以及微积分的创立在人类科学文化发展中的意义和价值。

      u      体现数学的教育价值。

      3)处理方式上的变化及其原由

      与原有教材相比较,“课标”在内容的处理上有很大的变化,主要表现在:

      u      突出导数概念的本质,感受和领悟微积分的基本思想,而不是学习压缩简编的微积分

      不讲极限概念,不是把导数作为一种特殊的极限(增量比的极限)来处理,而是直接通过实际背景和具体实例——速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,并通过提出恰当的问题使学生感受学习瞬时变化率的必要性。然后,在对实际背景问题研究的基础上,抽象概括出导数的概念。例如,通过问题“ 研究高台跳水运动员从腾空到进入水面的过程中不同时刻的速度”以及恰当的问题,经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,引出瞬时速度的概念,为抽象出导数概念作准备。体会导数的思想,体会导数与变化率的关系:凡变化的对象,都有变化率的问题,导数就是某个时刻的瞬时变化率。现代社会中存在着大量这样的问题,新课程希望给学生对他今后的学习和步入社会后,能留下对微积分的一些实际认识。

      同时也体现“课标”让学生在经历过程中感受数学的思想,认识数学,主动参与数学教学活动的基本理念。

      u      强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢,研究函数的基本性质和优化问题中的应用,并通过与初等方法比较,感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。

      应用导数探索函数的单调性、极值等性质及其在实际中的应用,感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用,体会微积分的产生对人类文化发展的价值。

      u      淡化计算

      针对以往微积分教学中的问题,以及“课标”对这部分内容的定位——强调对导数本质的认识,不仅作为一种规则,更作为一种重要的思想、方法来学习。因此,在处理导数的计算时,首先对几个常见的函数(如:),用导数定义求出它们的导数,然后直接给出其它基本初等函数的导数以及导数的运算法则,只要求学生会用基本初等函数的导数以及导数的运算法则来计算导数,而且明确指出“要避免过量的形式化运算练习”。与选修系列1-1相比,选修系列2-2对运算的要求略有提高,如增加了求简单复合函数(仅限于形如)的导数。

      u      重视几何直观等思想方法的渗透和学习

      反复通过图形去认识和感受导数的几何意义,以及用导数的几何意义去解决问题,通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用。以往对导数几何意义的处理和要求是较弱的,“课标”提高了对导数几何意义以及用导数的几何意义去解决问题的要求,其目的一是加深对导数本质的认识和理解,二是体现数学中几何直观这一重要数学思想方法对于数学学习的意义和作用:

      导数作为刻画函数变化的瞬时变化率,能从数量上反映函数在一个点附近的变化情况,导数的符号可以反映函数是增还是减,导数绝对值的大小可以反映函数增减的快慢。我们知道,函数的单调性是指当自变量增加(减少)时,函数值是增加还是减少?从函数图象即几何的角度看,就是函数图像“走势”的变化规律:是上升还是下降?而上升或下降的快慢,即图象“走势”是“平缓”还是“陡峭”可以通过导数绝对值的大小反映出来,“课标”希望结合函数图象帮助学生认识和理解导数在研究函数单调性中的作用,使他们对函数的单调性有一个更完整的深入的认识和理解。

      u      关注算法思想的渗透,以及与信息技术的整合

      “算法”是高中课程中新增加的内容,“标准”明确指出:算法是数学及其应用的重要组成部分,渗透算法思想是算法学习的一个重要方面,与信息技术的有机整合也是“课标”的一个基本理念。因此,“课标”建议在阅读材料中,通过介绍用切线法求方程的近似解,来渗透算法思想,以及与信息技术的有机整合。

      总之,为了更好地体现课程改革“进一步提高未来公民所必要的数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要”的总目标,体现课程的时代性和基础性、强调本质、强调联系的基本理念;也是基于对我国中学数学课程中微积分内容几进几出原因分析,以及对微积分教学现状的思考。“课标”对“导数及其应用”内容的处理有了上述变化,并提出了相应的要求。

           7.新增内容及增加的原由

      新课程的基本理念之一是要与时俱进地认识“双基”。因此,除了在一些原有内容的要求和处理上有相应的变化外,还增加了算法、推理与证明、框图、统计案例等新的内容。

      1)算法

      算法是高中数学课程中的新增内容,其基本思想是非常重要的,例如,带余除法、运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数、用二分法求函数零点等都是体现算法及其基本思想的典型实例。因此,“算法”一词虽然对中学数学内容来说较为陌生,但并不神秘。

      ——增加的原由

      增加“算法初步”是“课标”基本理念的具体体现

      “课标”指出,算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展,算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的许多方面,算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。增加“算法初步”是“课标”时代性与时俱进地认识“双基”的基本理念的具体体现。

      下面我们对这部分课程的内容与要求,以及应注意的问题等方面作简要的分析。

      ——课程内容与要求

      u      整体要求

      对“算法初步”的整体要求是:在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上,结合对具体数学实例的分析,体验程序框图在解决问题中的作用;通过模仿、操作、探索,学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力;将算法的学习渗透在整个高中数学课程的学习中。

      u      课程内容与要求

      ①算法的含义、程序框图

      通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义。

      算法至今没有一个统一定义。因此,“课标”要求通过对解决具体问题步骤的概括,如解二元一次方程组的步骤,给出算法的含义:算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。在此基础上,还可通过一些实例,如质数的判定、用二分法求方程的近似解这些学生熟悉的问题,分析其算法步骤以帮助学生进一步理解算法的基本含义。

      通过解决具体问题的步骤来表达算法的含义通俗易懂,但是不够准确,算法的基本结构也不清晰。因此,“课标”建议通过框图形式表示具体问题的解决,如“质数的判定”的算法,介绍算法的基本逻辑结构(顺序结构、条件结构、循环结构),以及用程序框图表示算法的方法,使学生认识到程序框图表示的算法步骤更直观,也更准确.

      “课标”要求通过模仿、操作、探索,经历设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中(如三元一次方程组求解等问题),使学生体验为了有条理地、清晰地表达算法,需要将解决问题的过程整理成程序框图;理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件分支结构、循环结构。

      顺序结构、条件结构、循环结构是算法的三种基本逻辑结构,从理论上来说,任何复杂的算法都可以用这三种基本逻辑结构来实现。框图是理解和表达这三种基本逻辑结构的最好方式,同时,这三种基本逻辑结构也是程序框图的构成要素。因此,将这三种基本逻辑结构的教学与程序框图的学习结合起来,不仅降低了这三种基本逻辑结构的学习难度,也为学习程序框图的画法提供了前提条件。此外,也希望让学生认识到学习三种基本逻辑结构与程序框图对于“有计划按步骤”地完成一件事情的好处,发展有条理地思考和数学化地表达的能力。

      ②基本算法语句

      在现代社会中,越来越多的事情可以由计算机来完成,而计算机完成任何一项任务都需要算法,因此算法是计算机科学的基础。但是,用自然语言或程序框图描述的算法计算机是无法“理解”的,因此我们需要将算法用计算机能够理解的语言表达出来,这就是通常所说的程序与程序设计,所用的语言称为程序设计语言。

      程序设计语言是由一些有特定涵义的程序语句构成的,与程序框图中介绍的算法的三种基本逻辑结构相对应,“课标”要求理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,进一步体会算法的基本思想。

      ③通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献,增强民族自豪感

      中国古代数学以算法为主要特征,取得了举世公认的伟大成就,是数学文化的重要组成部分。中国古代数学著作《九章算术》是其中的杰出代表。此外,中国古代数学中的割圆术、多项式求值的秦九韶算法等也都是体现算法及其思想的典型算法案例,“课标”建议选择相应的内容作为阅读材料,使学生体会中国古代数学对世界数学发展的贡献,增强民族自豪感。

       

      ——应注意的问题

          强调算法基本思想

      中学阶段安排算法的学习,除学习必要的算法初步知识外,更重要的是使学生接受算法思想的熏陶,而不是以学习多少算法知识为目标。因此,无论是算法的含义、三种基本逻辑结构(顺序结构、条件结构、循环结构)、程序框图及其画法、五种基本算法语句(输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句)和简单程序的编写,更多的应关注算法思想的提炼,而不是把注意力放在更多的算法知识的学习上。

          算法学习必须通过实例进行

      使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句。有条件的学校,应鼓励学生尽可能上机尝试。

      与其它数学内容的学习相比较,算法学习的一个最大的特点就是操作实践性强。因此,在安排具体内容时,要求结合具体例子安排算法知识的学习。例如,可用学生熟悉的“二元一次方程组的解法”介绍算法的含义,使学生明确算法实际上就是解决问题的一种程序性方法,它通常指向某一类问题.;用“质数的判定”的程序框图介绍程序框、流程线与基本逻辑结构;“用二分法求方程的近似解”介绍程序框图的画法;用“计算12+…+100的值”介绍直到型与当型两种不同的循环结构与循环语句,等等。

            如果条允许,尽可能的让学生上机实现,或模拟上机实现,这是检验学生学习算法的一种方式,也是学生比较感兴趣的部分。在实例教学中让学生理解和初步掌握算法的基本思想和操作过程。通过模仿、操作、探索,经历“写出算法步骤、画出程序框图、编制程序、上机验证”的全过程,并由此落实算法教学内容。

          突出教学重点,体会算法思想

      切忌将算法课变成程序设计课。应该抓住用程序框图表示算法这个核心突出教学重点,突破程序框图的画法这个难点,理解算法的三种基本逻辑结构和基本算法语句的对应关系,通过具体算法案例所蕴涵的算法思想,重点培养学生利用算法解决问题的意识,并明确自然语言描述的算法步骤、程序框图和程序是不同形式的算法,它们体现了算法逐渐“精确”的过程。

          充分关注算法思想在其它数学内容中的渗透

      不仅在必修3中的算法教学应注意将算法与其它数学内容联系,而且还应充分关注将算法思想渗透到后续的高中数学课程的学习中去,鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。例如,在概率教学时,我们可以给出以下的例子:“天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%。这三天恰有两天下雨的概率是多少?”试利用整数型随机数设计算法,估计概率。

      2)推理与证明

      ——增加的原由

      我们都知道,推理与证明贯穿于整个数学课程,对于它的系统学习是新课程的一个变化。目的是希望能对以前所学知识与方法作一个总结、归纳,并对后继学习起到促进的作用;希望通过此内容的学习,使学生进一步学会数学的学习和思考方式,为步入社会起到促进学生发展的作用。

      ——应关注的问题

      u      推理与证明是数学的基本思维过程,是学数学、做数学的一种基本功,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式,是发展理性思维的重要方面。

      u      合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用;演绎推理则具有证明结论,整理和建构知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法。两者紧密联系、相辅相成,对它们的系统学习有利于培养和发展学生的逻辑思维能力和创新思维能力,发展理性思维,使学生体会并认识合情推理在数学发现中的作用,体会证明的功能和特点,以及在数学和生活中的作用,养成言之有理、论之有据的习惯。

      u      通过变隐性为显性、分散为集中,通过挖掘、提炼、明确化,使学生知道:数学与其它学科的不同除了研究对象不同之外,最突出的就是数学对象内部的真确性必须用逻辑推理的方式来证明,在证明过程中不仅用到演绎推理,而且要用到合情推理,尤其是对一些较为复杂的问题,演绎推理与合情推理经常是交替使用的。

      u      使学生懂得如何学会数学地思考,感受和体会推理与证明在学习数学以及日常生活中的意义和作用,提高数学素养。

      u      在教学中,要力求通过恰当选择有关内容,可以从已学的内容和问题中,引导学生观察提炼思想方法;精心设计问题,激发学生思维,引发学生猜想;利用类比和归纳,进行特殊到一般的思维训练;利用演绎证题,揭露蕴涵性质等。渐进地培养学生的自主探索意识和推理能力。要让学生感受探究的过程,通过观察问题和从问题发现到对问题解决的整个思维过程,让学生真实地感受到数学的创造过程,它需要经历观察、试验、归纳结论,最后再加以严格证明的一个完整的归纳推理和演绎推理相结合的思维过程。例如:关于凸多面体的“欧拉公式”:任意凸多面体的顶点(V)、面(F)、棱(E)、之间有关系式:V+F-E=2的探究思路。
         

      3)框图

      ——增加的原由

      框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示,它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系。框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面,也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具,并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式。 “课标”在选修1-2中设置了框图的内容,是为希望在人文社科方面发展的学生新增加的内容,目的是希望通过框图有关内容的学习,帮助学生清晰地表达和交流思想,提高学生的抽象概括能力和逻辑思维能力,提高学生思维的条理性,养成用框图清晰地表达和交流思想的习惯,以更好地适应现代社会对未来人才基本素养的要求。

      ——内容与要求

      这部分内容应在必修3算法中学习程序框图有关知识的基础上,通过具体实例,“进一步”认识程序框图。如画出用二分法求方程的近似根的程序框图。通过具体实例了解工序流程图(即统筹图)——由一些图形符号和文字说明构成的图。工序流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的步骤,在日常生活和工作的很多领域都有广泛应用。通过实例,了解结构图——一种描述系统结构的图示。一般有构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成。连线通常按照从上到下、从左到右的方向表示要素的从属关系或逻辑的先后关系。

      4)统计案例

      ——增加的原由

      考虑到统计在日常生活中的广泛应用,学生需要具备一定的数据处理能力,了解和使用一些常用的统计方法。因此,“课标”在选修系列1和系列2中都安排了“统计案例”这一内容。

      ——内容与要求

      在必修3学习的基础上,通过对典型案例(如“人的体重与身高的关系”等)的探究,进一步讨论一元线性回归模型,分析产生随机误差项的原因,从相关系数的角度研究两个变量间线性相关关系的强弱,使学生了解在什么情况下可以考虑使用回归模型,了解回归的基本思想、方法及初步应用。

      通过对典型案例(如“肺癌与吸烟有关吗”等)的探究,了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用。

      ——应注意的问题

      这部分内容是新增加的内容,有一定难度,在教学中要把握好以下几个方面:

      u      给学生提供联系实际、为学生感兴趣的典型实例,激发学生的学习兴趣

      教学中,教师首先要尽可能选择联系实际的、贴近学生的、学生感兴趣的、能反映统计方法的典型案例,引导学生就如何解决案例中的问题展开讨论,以激发学生的学习兴趣。

      u      引导学生自己设计解决问题的方案探索解决问题的途径,认识所学的基本思想、方法

      数据处理的能力需要建立在学生亲自处理数据、解决问题的基础上。在对统计案例进行讨论后,教师不宜采取直接介绍方法,然后让学生模仿的教学方式。应引导学生尝试设计解决问题的方案,探索解决问题的途径,以使他们经历问题处理的过程,培养他们对数据的直观感觉,认识统计方法的特点(如统计推断可能犯错误,估计结果的随机性),体会统计的基本思想、方法。

      u      引导学生借助案例体会统计方法的基本思想,不要求追究方法的理论基础,避免单纯记忆和机械套用公式

      考虑到高中学生的认知特点,教学中更加强调的是具体案例所使用的方法、具体方法所反映的思想。对于这些方法的合理性,教学中只要学生能根据案例直观体会(实际上也是这种方法的原始产生过程)即可。

      u 回归分析在必修部分统计中已经有所讨论,由于它的应用极其广泛,这里希望学生能进一步加深理解其思想,能用配方法导出其回归系数公式。也可以通过实例,讨论一下可线性化的非线性回归问题。

      这里我们还要说的一点是,在“课标”中设计的是四个案例,教材审定组考虑到这部分新增内容的难度和现实情况,删去了其中的两个案例,保留了现有教材中安排的两个案例。

      四、实验调查的一些结果与思考

      从人教社国家级社科基金“十一五”规划国家课题“新课改后各类教材特点的比较研究”子课题“新课改后中学数学教材的比较研究”教材使用情况的调查与分析(高中部分)所反映出来的情况看,新课程带来了新的变化:

      首先是认识上的变化,越来越多的教师认可“课标”的改革理念和课程的设计意图;越来越多的教师认识到数学和数学教育的价值:数学是有用的,数学离我们很近,尤其是在育人方面的价值,数学能培育人们理性的思维方式,促进人们有条理地思考,表达清楚,有效地进行交流;使人实事求是,锲而不舍,使人得到文化方面的修养,更好地理解、领略和创造现代社会的文明。其次是在课堂教学方面的变化,我们的教师历来在课程的实施中敬业精神强;基于“大纲”的要求,教学中关注数学思想方法的教学,关注“三大能力”的培养;有一批优秀的教师数学素养好,能按科学的教学规律进行课堂教学;在新课程的实验过程中,有越来越多的教师认识到课堂教学必需从数学上把握好教学内容,必需遵循教学规律,必需研究学生的认知水平,教学研究逐渐深入,一些实验区在人教社中数室的课题“数学核心概念思想方法教学设计的理论与实践研究”带动下,研究型的教学骨干队伍在原有基础上正在不断扩大和成长,老师们深切地感受到:能自如应对不断前进、不断变化的数学教育最有效的途径是不断提高自身的双专业素养——数学素养和教学素养。

      在实验进程中积累了一些经验,也不可避免地也暴露了不少问题,这是课程改革进程中必然会出现的现象,重要的是需要我们进行认真的思考,分析主、客观原因,对有关部门提出建议,也对自身的行为作出相应的调整,以促进新课程的健康发展。这里,我们侧重以下几个方面的问题作一些分析。

       

      (一)对原有内容处理变化的调查与思考

      1.关于先讲函数后讲映射的反映与思考

      从人教社课题调研的数据看,三分之二的老师认为,函数教学应该“先讲映射再讲函数”。但“课标”建议先学习函数再学习映射,这是考虑到函数是一个不易理解的概念,从多数中学生的认知水平来看,先学函数后学映射有助于他们把注意力集中到函数本身,体会函数概念的本质,也有助于与初中函数学习的衔接。

      从数学发展史看,函数思想源于运动、变量和曲线的数学描述,函数概念于16——17世纪逐渐形成。

      函数一词是由莱布尼兹于1673年最早引入的,用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。如:曲线上点的坐标、点的斜率、曲率半径等等。其后,伯努利把函数看作一个变量和一些常数组成的表达式。欧拉在伯努利之后把函数看作是含变量和常数的任何方程和公式。不难看出,他们对函数的界定都没跳出“表达式”的范围。

      函数记号fx)是克雷罗和欧拉在1734年前后引进的。狄利克雷在1837年给出了函数定义,直至此时,才开始注意到函数的本质——对应关系,跳出了“表达式”的框框,把函数定义为:“如果两个变量xy有这样的关系:每当给x指定一个值,根据某种规则,就自动地给y指定一个值,则我们说yx是的函数,x可取的允许值构成函数的定义域,y所取的值构成函数的值域”。现行初中教材中的函数定义就是由此而来的。一般把这种定义方式叫函数的“变量说”。

      20世纪初,取消了函数概念中变量只能为数的限制,突出了函数的本质特征——对应关系,用集合论的语言定义为:“设AB为两个集合,如果按照某个确定的对应关系,对于集合A中每一个元素x,总有集合B中唯一确定的元素y与之对应,那么这个对应关系就叫做一个映射,当AB为数集时,称为函数”。这是高中数学中函数的定义方式,一般把这种定义方式叫做函数的“对应说”或“映射说”。

      除了上述两种定义方式外,还可以用关系来定义,把函数作为一种特殊的关系:“一个二元关系f若满足:(x1y1 f x1y2 f ,则y1=y2,就称f为函数。”这种定义方式即函数的“关系说”。

       “变量说”的优点是形象、直观、自然,通俗易懂。但没有突出函数的本质——对应关系。“对应说”和“关系说”建立在集合论的基础上,更接近现代数学的语言,普适性强,更重要的是它们都抓住了函数的本质——对应关系。

      “关系说”完全用集合论的语言叙述,是完全数学形式化的表述,便于计算机接受,但过于形式化,抽去了函数关系的生动直观——变量变化及相互依赖关系的特征,看不见对应关系的形式和规律,对初学者来说不易理解和掌握。“课标”建议先讲函数再讲映射,一是考虑到从特殊(函数)到一般(映射)更加符合中学生的认识规律,有利于学生把注意力集中到对函数的认识;二是有助于与初中知识的衔接。人教A版教材以较为直观的3个实例引入,既符合初中学习的函数定义,与学生在初中已有的知识经验有较好的衔接,又让学生经历从具体到抽象的概括过程,在初中学习的基础上提升对函数的认识,用集合的语言给出函数形式化的定义,明确指出对应法则,并用抽象的符号表示。

          因此,为了帮助学生把注意力集中在函数本身,更好地认识函数的实质,我们还是建议先讲函数后讲映射,在实践中进行思考和比较研究,不要简单地作出肯定或否定。

      2.先概率后计数原理的反映和思考

      从实验区的调查情况来看,反映不一,部分教师认为这样的安排有助于学生对概率本身的认识,但不少教师对这样的设计还不适应、不认可。

      我们都知道,计数原理与概率是两个不同的概念,他们没有必然的关联,更没有因果关系。当然,讲了计数原理后,在讲古典概型举例子时局限性可以小一些、丰富些,计算也会方便些。但也许正是这样,在以往教学中不自觉的就把注意力放在概率的计算上,而忽视了对概率思想、对概率本身的认识和理解。“课标”要求先讲概率后讲计数原理的意图正是希望改变这种现象。更好的认识客观世界中的随机现象和概率的意义,尝试澄清日常生活中遇到的一些错误认识(如“中奖率为1/1000的彩票,买了1000张一定中奖)。

      面对课程改革带来的变化,我们需要更多的思考,要在继承、借鉴中发展和创新,不要简单地肯定或否定。无论是按新的要求做,还是因袭原来的做法,都需要首先认真思考自己为什么这么做?原来的课程设计长处是哪些?存在哪些不足?有哪些问题?学生通过学习相应的内容能得到些什么?能留下些什么?“课标”为什么有新的变化和要求?如果我们能在认真思考的前提下、在实践一段时间后再去分析判断,或许我们的行为和结果就不一样了。

       

      3.不讲极限讲导数的反映和思考

      前面我们已提到,“课标”对微积分内容的调整进行了反复的研究与思考:为何在我国中学数学中微积分会出现几进几出的安排?如何使学生感受学习导数的必要性,帮助学生了解导数在研究函数性质和生活中涉及的导数的初步应用?

      如何使学生较好地认识导数的本质,不仅将导数作为一种规则,更作为一种重要的思想、方法来学习?如何更有效地学习导数的相关内容?等等。

       

      从数学发展史看,早在公元前560—公元前480年,毕达哥拉斯(约公元前580—公元前500)关于不可公度的发现,以及对于数与无限的认识中,就已孕育了微积分的思想方法,约公元3世纪,我国刘徵的割圆术和公元5世纪祖冲之(429500)计算圆周率π等问题中,也都包含了极限思想。经历了中世纪的黑暗和文艺复兴,直到17世纪,牛顿(16421727)和莱布尼兹(16461716)在继承前人工作的基础上,创立了微积分。但是直到19世纪前,对这门学科的逻辑基础仍然缺乏清晰的观念,又经过一批数学家的不懈努力,到了19世纪末,才把微积分建立在实数理论的坚实基础上,使之有了牢固的逻辑基础,形成了现在的微积分体系。柯西(17891857)、魏尔斯特拉斯(18151897)、戴德金(.18311916)、康托尔(18451918)等人是其中杰出的典型代表。

      大家反映的集中问题是:极限是整个微积分的基础,不讲极限怎么讲导数,不讲极限不方便讲导数。

      的确,极限是整个微积分的基础,连续、导数、定积分、微积分基本定理、级数、广义积分等都是不同形式的极限,而且,也必需在学习连续、导数、定积分、微积分基本定理、级数、广义积分等内容的过程中才能不断加深对极限的认识和理解。

      因此,我们要思考的是:从极限思想的孕育到极限理论的建立,经历了漫长的过程,从牛顿和莱布尼兹创立微积分到建立微积分的严密的逻辑基础,经历了200多年的时间。在中学学习极限,学生对极限的内涵能理解到什么程度?对理解导数概念能起到什么作用?学生离开学校后不再接触数学,能给他们留下些什么?如何讲导数能把学生的注意力集中到导数本身,使他们感到导数、数学与现实生活有着密切的联系。

      “课标”要求不讲极限,直接通过实例的分析,经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,了解导数的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想和内涵。其意图正是希望能把学生的注意力集中到导数本身,对导数概念本身有一个较好的认识,使学生离开学校后即便不再接触数学,也能给他们留下些东西,提到变化率、增长率能联想到数学与现实生活是有联系的。而不是象以往那样,更多的是把导数作为一种规则学习,注重的是导数的计算,一旦忘记了求导公式和法则,就留不下什么了。

       

      综上分析,我们还是建议不要对“课标”的变化简单地肯定或否定,还是先尝试着:先讲函数再讲映射;先讲概率后讲计数原理;不讲极限直接分析实例,让学生经历从平均变化率过到瞬时变化率的过程,引出导数概念。这样的变化或许会使部分教师感到不适应,不习惯,尤其是对经验丰富的教师,更会感到自己积累多年的好经验用不上了、不顺了。但“课标”设计的课程作出这些处理变化的依据是:(1)前期的课程比较研究;(2)学生学习心理的分析研究;(3)研制过程中的反复研讨和局部实验;(4)吸收了包括一线教师在内的多方面人士的经验和建议。“课标”希望能通过这样的变化帮助学生把注意力集中到对函数本身、概率本身、导数本身的认识和理解上,希望能使多数学生即便以后不再接触数学,也能感受数学与社会、数学与生活是有联系的,数学是有用的,数学离我们很近。

       

      (二)实验区教师的困惑与思考

      对于实验区教师的困惑,我们归纳了以下几个方面,并对他们的困惑作一些分析。

      1.内容多,课时不够,师生负担加重问题与思考

      实验区教师普遍感到的一个困惑是新课程内容多,课时不够,师生负担加重,尤其是一开始接触新课程时,这一困惑更为突出。但是,从实验的情况看,这一困惑会随着实验时间的推移而逐渐得到逐步解惑。

      由于新课程的确增加了新的内容,如:算法、推理与证明、框图、统计案例等,加强了统计和概率的内容,尤其是选修系列3、4的专题。因此,刚一接触新课程感到内容多是自然的,加上对新课程的变化和要求还不很清楚,仍然按原来的想法去组织教学,因此,产生课时不够,师生负担加重的困惑是必然的。

      ——产生这些困惑有多方面的原因

      其中,主要原因是还没有把握好“课标”的要求和变化,还没有从“大纲”课程中摆脱出来。如前面提到的函数的有关内容,新课程降低了对映射、反函数、不等式等的要求,删减了复合函数的内容。如果我们仍然按原来的方式教学,例如,大量补充不等式内容,因为按原来的理念和方式教学,不补充就不能做集合运算中的综合题、求定义域值域的综合题,涉及到参数讨论的综合题等。而新课程对集合的要求是把集合作为一种语言来学习,不仅在当前,而且要在以后的学习中帮助学生用集合语言简洁、准确地表达数学的一些内容,而不是在当前的学习中去做综合题,重点要放在对集合语言的运用上,在使用中熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点,进行互换。对函数概念学习的重点是从整体上提升对函数本质的认识,而不是求定义域值域的综合题,尤其是要避免人为地编制一些求定义域值域的偏题和过于繁琐的技巧训练。此外,因为删减了复合函数,因此,在学习函数的单调性时就不要再进行过于繁琐的技巧训练,对函数单调性的进一步理解应在导数及其应用中进行,这也是“课标”螺旋上升的一个体现。因此,重要的是必须要从整体上去把握和看待新课程的变化。

      新课程希望不仅把不等式作为一种工具,而且要了解他的几何意义、应用,以及现实背景,此外,也受到模块结构在课时上的限制,不等式的内容被安排在必修模快5中,这给教学带来一些不便,在具体教学中需要先补充有关不等式的一些内容,但是一定要控制难度和课时。关于不等式内容的安排,我们可以酝酿着提出建设性建议,在修订“课标”时提出来。

      其次一个原因是在教学中做两个并集:一个是“大纲”内容与“课标”内容的并集。做这个并集的根源是对新课程高考的要求心理没底,生怕降低学生的高考成绩。另一个并集是把新课程分层次、分阶段完成的教学任务一步到位完成,还增加了很多的训练,反复训练,这主要是对新课程设计中螺旋上升的意图不清楚,按自己原有的观念进行教学造成的。

      产生课时不够,师生负担加重的再一个原因是前紧后松,2年完成3年的教学任务。这个问题在“大纲”课程中也存在,但是对于新课程,由于不少学校对选修34专题只开设考纲要求的专题,甚至不开设,因此,后面的时间就显得更松了。造成这一问题的根源还是高考。但是,即便有了考纲,与“大纲”课程一样,高考对正常教学秩序带来的影响仍然是一个需要多方共同努力去研究的问题。

      2              对高考心里没底问题与思考

      高考给教学带来的影响一直是困绕我们的难题。客观的因素来自社会、各级行政主管部门,家长等方面,对教师造成了很大的压力,教学中普遍存在着:只要高考好,怎么做立竿见影就怎么做;高考考什么就教什么,以解题教学代替概念原理教学,大运动量机械训练等现象。

      新课程对原有内容要求和处理有了变化,又增加了新的内容,教师自然就会产生不知道高考会怎么考、对高考心里没底的问题。因此,在实验一开始就瞄着高考,盼着早点出台“考纲”。担心“课标”和教材与高考不一致,虽然在某些方面的要求降低了,但是高考的要求不会降。于是,不仅原来的一些做法没有改变,而且做两个并集,大大加重了师生的负担,有悖于课改的初衷。

      各个方面给教师造成的压力,使教师经常是“身不由己”,这是非常能理解的。这里我们要说的是,我们需要对自己的教学理念有一个反思:如何看待教师的价值?什么样的教师是一个合格的教师?为什么普遍存在着把会解题等同于数学学得好、数学能力强的看法,重视的只是会解题、考试能得高分,更多的老师关注的只是在解题上的提高,认为合格的数学教师就是解题高手。应该说,会解题是一个教师必须具有的能力,会解题与数学好的确有一定的联系,从一个侧面表现出他们的数学素养。但是,这样的着眼点,这样的教学理念是片面的,不仅是对数学的理解不到位,而且也是对数学教育育人功能认识不到位的表现,看不到这样的理念会使学生失去更多的理解数学的机会。更是日常教学以解题教学代替概念原理教学,大运动量机械训练等现象的重要原因所在。

      事实上,即便一开始就瞄着高考,也未必就能解决问题,一个合格的教师应该会解题,但是会解题的教师未必就是合格的。同样,一个好的教师应该也是解题的高手,但是解题高手未必是一个好教师。在我们的教师队伍中,始终有一批中坚骨干,他们能站在一定的高度来看待数学教育的功能,对数学有较好的认识和理解,不断地提高自己的数学素养;他们有较为全面的教学理念,在教学中研究学生的认知规律,追求遵循科学的教学规律。因此,一个自然的结果是:他们培养的学生一般都不仅有较好的成绩,也有较好的能力。“课标”追求的目标之一正是希望有越来越多的教师成为这样的教师,希望通过“课标”对原有内容的要求和处理变化、通过新增内容和专题的设置,提高广大教师的数学素养,提高对数学的认识和理解,提高对数学教育功能的认识,提高教学水平,使广大学生受到高水平的数学教育。

      我们还要说的是,学习数学没有一定量的训练是万万不行的,教师希望学生得到好成绩的愿望也是无可指责的。但是,简单重复的大运动量机械训练是低效的,尤其是对一些综合性较强的问题,而且这种训练会给学生的学习和对数学的认识带来很多负面的影响。因此,重要的是要思考以什么方式、怎样训练使学生获得好成绩才是科学的、高效的。解题过程中归纳题型是需要的,关键是如何归纳?归纳题型的着眼点在哪里?解题后还应作些什么?大家都知道波利亚解决问题的模式,很多教师也有自己的训练方法,有的教师还总结了“精选习题,高效训练”的方法。基于上述分析,我们认为,应该立项研究如何进行科学有效的训练,从一个侧面解决提高学生解题能力的问题。

      3.关于传统优势降低问题与思考

      在调查中,有不少教师认为我们的传统优势,如:抽象概括、推理论证、空间想象、运算求解等能力并没有提高,反倒是有所降低了,尤其是运算求解的能力,这是值得我们关注的问题。

      应该说,出现这样的现象,原因是比较复杂的,我们建议大家要从整体上来看待这一现象。

      能力的培养和提高需要经历一个过程,在新旧交替的过程中,教师对新课程的理念、变化、要求还不很了解,尤其是新课程虽然在某些内容上降低了要求,但是,新课程的模块和专题结构、对原有内容处理的变化、新增内容等,都对教师在数学上提出了更高的要求,需要教师从更高的层次上去把握教学内容,这就必然会使多数教师感到不适应,也就必然会影响到对教学内容的把握,影响到教学的效能。

      此外,这一轮课改在义务教育阶段的改革中有很多合理的地方,但也确实存在一些需要改进的不足,这些不足直接影响到学生一些基本能力的形成,尤其是运算能力。在修订“义务教育数学课程标准(实验稿)”时已经作出了相应的修改。

      再有,尽管教师认可“课标”和教材重视数学知识的学习过程,加强了启发性和探究性的意识和设计,但在实际教学中,由于班额普遍比较大,受升学、考试等的影响,往往难以落实,很多时候还是停留在“讲、练”的教学方式,当然,这种教师示范、学生模仿、适当练习的讲、练方式仍然是主要的教学方式,但是,缺乏启发的、,缺乏互动的讲、练方式,以及概念教学中一个定义几项注意式的、直接抛出概念的教学方式,也都是造成这种现象的原因。

      随着新课程的推进和成熟,随着教师数学素养的提高和对教学规律研究的不断深入,相信这一问题会逐渐得当解决。

       

      (三)关于“课标”的一些初衷没有达成的问题

      1.学生的学习兴趣和学习自主性并没有明显的提高的问题

      基于“课标”提倡自主、探究、合作等学习方式的要求,各个版本的教材在呈现方式上都作了很大的改进,教材中都设计了一些引导学生思考、操作的栏目,注意留给学生探索与交流的空间,选材注重与学生现实生活的联系,等等。从调查结果来看,教师对教材的这些处理比较认可。但是,学生的学习兴趣和学习自主性并没有明显的提高。出现这样的现象是可以理解的,我们可从以下几个方面去分析。

      ——教师已经了解了“课标”的基本理念,教师对数学、对数学的教育价值、对如何进行有效的学习等问题有较好的认识,从自己以往的经历中有切身的体验。而学生就完全不同了,他们不知道“课标”,他们对数学、对数学的教育价值没有什么感觉,很少会有学生去思考教材的变化会给学习会有怎样的积极意义。

      ——关于探究性学习,并不是所有的知识都是适合的。像数、式运算等程序性的知识就不适合探究性学习;无理数、复数等超经验性知识也不适宜用探究性学习;为什么要使用弧度制、无理指数幂那样难以证明的知识也不适宜探究性学习。一般来说,容易引发争议的、有一定思维深度的、思辨性较强的知识比较适用于探究性学习,教材中设计了一些探究性学习的问题和拦目,供教学用,到底哪些内容适合探究性学习,用什么方式进行探究性学习能提高学生的学习兴趣和学习自主性,需要我们在实验中去探索。同样,对于合作学习的方式,也存在着到底哪些内容适宜合作学习,用什么方式进行合作学习是有效的等问题,需要我们在实验中去探索。

      ——随着时间的推移,随着研究的深入,相信这些问题都能逐步得到解决,学生的学习兴趣和学习自主性也能得到改善。

      2.学生能力发展方面的问题

      在学生能力的发展方面,不少教师认为,传统优势下降,中学数学比较重视的学生的抽象概括能力、推理论证能力、空间想象力、运算求解能力以及这次课改比较重视的数据处理能力并没有提高,反倒是有所降低了,并没有达到我们预期的结果。这一问题我们已在上面关于传统优势降低问题中作了分析。

      3多样性、选择性理念的初衷没有达成的问题

      “课标”希望通过教材中习题编排的选择性;体现弹性内容的选学材料;课程的组合的灵活性,学生在作出选择后,可以根基自己的意愿和条件向学校提出调整的申请,经过测试获得相应学分可转换;以及选修系列3、4中专题的开设等,体现新课程的多样性、选择性这一基本理念。

      但是,在实验过程中,因为习惯于“大纲”课程对习题的处理,一般都要求所有学生做所有的习题,这不仅体现不了多样性、选择性,更重要的是加重了部分学生的负担,也影响了部分学生的学习自信心。对于弹性内容的材料,不少教师还不适应这样的安排,认为没用,也就没有利用好这部分内容。至于课程组合的灵活性,更是“没有感觉”。而选修3、4中的专题,一般只开设高考要考的专题,甚至于不开设。随着对新课程设计理念认识的逐步加深,对教学内容要求熟悉程度的不断提高,随着自身数学素养的不断提升,随着客观环境的改善,这些问题都能不断得到改进。

       

      (四)教师对“课标”中一些内容处理的变化比较认可引发的思考

      在实验调查中,教师对于“立体几何、平面解析几何螺旋上升的安排”,从整体到局部“先学空间几何体,再到点、线、面”,“降低综合法的要求,用空间向量处理立体几何”等内容处理上的变化教师比较认可;对于教材渗透数学思想方法与数学文化的处理也都认可。这些调查结果引发了笔者的一些感触。

      回忆在这一轮课改的前期研究中,“课标”研制组对学生的学习心理、认知规律、几何课程的教育功能和设计等方面作了研究。我们都知道推理能力在数学学习中的重要而基础的地位,强调几何课程是培养学生逻辑推理能力的良好载体。但是,无论是进入平面几何课程还是立体几何课程的学习时,多数学生都会感到困难,甚至成为造成学习分化的一个内容。究其原因,难教难学的重要原因之一是以往几何课程的内容是以论证几何为主线,立体几何是从局部到整体展开的,教材的编排过于形式化,与大多数学生的认知水平存在着较大的距离。针对上述问题,为了避免以往几何课程中以论证几何为主线、从局部到整体展开几何内容造成的过于形式化,以及由此给学生认知带来的困难,使学生在较为自然的探索过程中学习几何的探索过程,“课标”在立体几何内容处理上有了较大的变化:按照从整体到局部的方式展开立体几何内容,突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程,并且注重三种语言的使用和转换训练。教材的编写依据“课标”的要求,并基于几何课程能将有关内容以“图”“文”并茂的形式生动形象地表示出来的重要特点,作了相应的研究和编排。这些变化在实验中得到了认可,从一个侧面说明“课标”的前期研究是必要的,是有成效的。

      此外,回忆10多年前“大纲”的研制情况,开始时大家对于增加向量、尤其是用空间向量处理立体几何问题有很大的争议。之后,老师们在实验过程中逐渐适应了,也感受到了这样处理是有益的。可以说,这次立体几何课程的变化能得到认可与此也是有关的。

      因此,新课程实验中出现种种问题是必然的,其中,有些问题会随着新课程的推进和成熟逐步得到解决,如上面提到的“传统优势下降”“课标”的一些初衷没有达成”等问题。有些问题需要在实验中继续关注,并提出改进建设性建议,如“不等式的内容选择和安排”“受模块结构课时限制,解析几何分划到必修、选修中进行”“不能按“课标”要求的课时进行教学”“选修34中专题的开设”等问题。同时,在实验过程中还会不断出现新的问题,需要我们去面对、去研究,有很多工作还需深入。

      新课程实施的过程是一个不断学习、探索、研究和提高的过程,在这过程中,需要我们认真思考、交流探讨、学习研究、与学生平等对话,在实践和探索中不断前进

      相信在各个方面的通力合作下,一定能克服改革进程中遇到的各种困难,不断完善“课标”,建设具有中国特色的高水平的数学课程,不断提高教育水平,使我们的学生受到高水平的数学教育。

       

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